2^circ Quantos são os anagramas da palavra MATEMATICAMEN ITE? E se eliminarmos as letras repetidas, como fica esse anagrama?

Para determinar o número de anagramas da palavra "MATEMATICAMENITE", precisamos contar o número de permutações possíveis das letras.<br /><br />Primeiro, vamos contar o número total de letras na palavra. A palavra "MATEMATICAMEN 15 letras.<br /><br />Em seguida, vamos contar o número de vezes que cada letra aparece na palavra. A letra "A" aparece 4 vezes, a letra "M" aparece 3 vezes, a letra "I" aparece 2 vezes e as letras "T", "E", "C" aparecem uma vez cada uma.<br /><br />Para calcular o número de anagramas, usamos a fórmula da permutação com repetição:<br /><br />\[ \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3! \cdot \ldots \cdot n_k!} \]<br /><br />onde \( n \) é o número total de letras e \( n_1, n_2, n_3, \ldots, n_k \) são os de repetição das letras.<br /><br />Aplicando a fórmula:<br /><br />\[ \frac{15!}{4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} \]<br /><br />Calculando os fatoriais:<br /><br />\[ 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \]<br />\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]<br />\[ 3! = 3 \times 1 = 6 \]<br />\[ 2! = 2 \times 1 = 2 \]<br />\[ 1! = 1 \]<br /><br />Substituindo os valores na fórmula:<br /><br />\[ \frac{15!}{4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{15!}{24 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1} \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ \frac{15!}{24 \times 6 \times 2} = \frac{15!}{288} \]<br /><br />Para calcular o fatorial de 15:<br /><br />\[ 15! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 1307674368000 \]<br /><br />Então:<br /><br />\[ \frac{1307674368000}{288} = 453,900 \]<br /><br />Portanto, há 453,900 anagramas possíveis para a palavra "MATEMATICAMENITE".<br /><br />Se eliminarmos as letras repetidas, a palavra se torna "MATICAMENITE". Agora, temos 11 letras sem repetições, então o número de anagramas será:<br /><br />\[ 11! = 11 \times 10 \timestimes 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 39,916,800 \]<br /><br />Portanto, se eliminarmos as letras repetidas, o número de anagramas é 39,916,800.